复旦高代第一章 行列式 §1.1 二阶行列式 anki版问答试问

问题 | 答案
线性方程组中的未知数个数和方程式个数是否相等？ | 可以相等，也可以不相等。
在矩阵形式线性方程组 Ax = b 中，A 代表什么？ | 系数矩阵。
在矩阵形式线性方程组 Ax = b 中，x 代表什么？ | 未知数向量。
在矩阵形式线性方程组 Ax = b 中，b 代表什么？ | 常数向量。
线性方程组的解？ | 唯一解，无解或无穷多个解。
n 元线性方程组的标准式是什么样子的？ | a 11x 1+a 12x 2+⋯+a 1 nxn=b 1a 21x 1+a 22x 2+⋯+a 2 nxn=b 2⋯⋯⋯a m 1x 1+a m 2x 2+⋯+a mnxn=bm\begin{array}{c}a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1} \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2} \\ \cdots \cdots \cdots\\a_{m1} x_{1}+a_{m2} x_{2}+\cdots+a_{m n} x_{n}=b_{m}\end{array}a11​x1​+a12​x2​+⋯+a1n​xn​=b1​a21​x1​+a22​x2​+⋯+a2n​xn​=b2​⋯⋯⋯am1​x1​+am2​x2​+⋯+amn​xn​=bm​​
∥abcd∥=\left\|\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right\|= ​ac​bd​ ​= | ad−bc ad-bcad−bc
设有二元一次方程组{a 11x 1+a 12x 2=b 1a 21x 1+a 22x 2=b 2\left\{\begin{array}{l}a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}=b_{1} \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}=b_{2}\end{array}\right.{a11​x1​+a12​x2​=b1​a21​x1​+a22​x2​=b2​​求写出克莱姆形式的解并校对自己推导过程？ | 用 a 22 a_{22}a22​乘第一式的两边，用 −a 12 -a_{12}−a12​乘第二式的两边得：{a 11a 22x 1+a 12a 22x 2=b 1a 22,−a 12a 21x 1−a 12a 22x 2=−b 2a 12.\left\{\begin{array}{l}a_{11} a_{22} x_{1}+a_{12} a_{22} x_{2}=b_{1} a_{22}, \\-a_{12} a_{21} x_{1}-a_{12} a_{22} x_{2}=-b_{2} a_{12} .\end{array}\right.{a11​a22​x1​+a12​a22​x2​=b1​a22​,−a12​a21​x1​−a12​a22​x2​=−b2​a12​.​将这两个方程式两边相加得：(a 11a 22−a 12a 21)x 1=b 1a 22−b 2a 12.\left(a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}\right) x_{1}=b_{1} a_{22}-b_{2} a_{12} .(a11​a22​−a12​a21​)x1​=b1​a22​−b2​a12​.于是x 1=b 1a 22−b 2a 12a 11a 22−a 12a 21.x_{1}=\frac{b_{1} a_{22}-b_{2} a_{12}}{a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}} .x1​=a11​a22​−a12​a21​b1​a22​−b2​a12​​.用类似的办法消去 x 1 x_{1}x1​解得:x 2=a 11b 2−a 21b 1a 11a 22−a 12a 21.x_{2}=\frac{a_{11} b_{2}-a_{21} b_{1}}{a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}} .x2​=a11​a22​−a12​a21​a11​b2​−a21​b1​​.
如何记忆二元一次方程组：{a 11x 1+a 12x 2=b 1a 21x 1+a 22x 2=b 2\left\{\begin{array}{l}a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}=b_{1} \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}=b_{2}\end{array}\right.{a11​x1​+a12​x2​=b1​a21​x1​+a22​x2​=b2​​ x 1=∥b 1a 12b 2a 22∥∥a 11a 12a 21a 22∥,x 2=∥a 11b 1a 21b 2∥∥a 11a 12a 21a 22∥x_{1}=\frac{\left\|\begin{array}{ll}b_{1}&a_{12}\\ b_{2} & a_{22}\end{array}\right\|}{\left\|\begin{array}{ll}a_{11}&a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right\|}, x_{2}=\frac{\left\|\begin{array}{ll}a_{11} & b_{1} \\ a_{21} & b_{2}\end{array}\right\|}{\left\|\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right\|} x1​= ​a11​a21​​a12​a22​​ ​ ​b1​b2​​a12​a22​​ ​​,x2​= ​a11​a21​​a12​a22​​ ​ ​a11​a21​​b1​b2​​ ​​ | （1）x1 与 x2 的分母都是行列式∥a 11a 12a 21a 22∥\left\|\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right\| ​a11​a21​​a12​a22​​ ​ ，即只需将原方程组未知数前的系数按原顺序排成一个行列式即可．（2）x1 的分子行列式的第一列是原方程组的常数列，第二列由 x2 的系数组成，因此这个行列式可以看成是将 x1 与 x2 的分母行列式∥a 11a 12a 21a 22∥\left\|\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right\| ​a11​a21​​a12​a22​​ ​中的第一列换成常数项而得．这个规则对 x2 的分子行列式也适用．
设有二阶行列式∥A∥=∥a 11a 120a 22∥\|A\|=\left\|\begin{array}{cc}a_{11} & a_{12} \\ 0 & a_{22}\end{array}\right\|∥A∥= ​a11​0​a12​a22​​ ​ a 11 a_{11}a11​和 a 22 a_{22}a22​被称为什么？ | 对角线元素或主对角元素
上三角行列式的值等于…… 元素之积 | 其对角线
行列式某行或某列全为零，则行列式的值等于？ | 0
用常数 c 乘以行列式的某一行或某一列，得到的行列式的值与原来的行列式的关系？ | 是原行列式的值的 c 倍．∥ca 11ca 12a 21a 22∥=(ca 11)a 22−(ca 12)a 21=c∥A∥\|\begin{array}{cc}\mathrm{ca}_{11} & \mathrm{ca}_{12} \\ \mathrm{a}_{21} & \mathrm{a}_{22}\end{array}\left\|=\left(\mathrm{ca}_{11}\right) \mathrm{a}_{22}-\left(\mathrm{ca}_{12}\right) \mathrm{a}_{21}=\mathrm{c\|A}\right\|∥ca11​a21​​ca12​a22​​∥=(ca11​)a22​−(ca12​)a21​=c∥A∥
交换行列式不同的两行（列），行列式的值如何变化？ | 改变正负
行列式两行或两列成比例（相同则当为比例为 1）, 则行列式的值等于？ | 0
请问∥a 11+b 11a 12+b 12a 21+b 21a 22+b 22∥=∥a 11a 12a 21a 22∥+∥b 11b 12b 21b 22∥\left\|\begin{array}{ll}a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22}\end{array}\right\|=\left\|\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right\|+\left\|\begin{array}{ll}b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22}\end{array}\right\| ​a11​+b11​a21​+b21​​a12​+b12​a22​+b22​​ ​= ​a11​a21​​a12​a22​​ ​+ ​b11​b21​​b12​b22​​ ​是否成立？如不成立，请写出对应正确的行列式性质 | 不正确，正确形式是∥a 11a 12b 21+c 21b 22+c 22∥=∥a 11a 12b 21b 22∥+∥a 11a 12c 21c 22∥;∥b 11+c 11a 12b 21+c 21a 22∥=∥b 11a 12b 21a 22∥+∥c 11a 12c 21a 22∥.\begin{array}{l}\left\|\begin{array}{cc}\mathrm{a}_{11} & a_{12} \\ b_{21}+c_{21} & b_{22}+c_{22}\end{array}\right\|=\left\|\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ b_{21} & b_{22}\end{array}\right\|+\left\|\begin{array}{cc}a_{11} & a_{12} \\ c_{21} & c_{22}\end{array}\right\| ; \\ \left\|\begin{array}{ll}b_{11}+c_{11} & a_{12} \\ b_{21}+c_{21} & a_{22}\end{array}\right\|=\left\|\begin{array}{cc}b_{11} & a_{12} \\ b_{21} & a_{22}\end{array}\right\|+\left\|\begin{array}{cc}c_{11} & a_{12} \\ c_{21} & a_{22}\end{array}\right\| .\end{array} ​a11​b21​+c21​​a12​b22​+c22​​ ​= ​a11​b21​​a12​b22​​ ​+ ​a11​c21​​a12​c22​​ ​; ​b11​+c11​b21​+c21​​a12​a22​​ ​= ​b11​b21​​a12​a22​​ ​+ ​c11​c21​​a12​a22​​ ​.​
行列式的某一行（列）乘以某个数加到另一行（列）上，行列式的值如何变化？ | 不变
若行列式中某行（列）元素均为两项之和，则行列式可表示为？ | 两个行列式之和
设有二阶行列式∥A∥=∥a 11a 12a 21a 22∥\|A\|=\left\|\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right\|∥A∥= ​a11​a21​​a12​a22​​ ​，求∥A∥ \|A\|∥A∥的转置 | ∥a 11a 21a 12a 22∥\left\|\begin{array}{ll}a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22}\end{array}\right\| ​a11​a12​​a21​a22​​ ​
行列式和其转置的值关系是？ | 相同