復旦高代第一章　行列式 §1.1　二階行列式 anki版問答試問

問題	答案
線性方程組中的未知數個數和方程式個數是否相等？	可以相等，也可以不相等。
在矩陣形式線性方程組 Ax = b 中，A 代表什麼？	係數矩陣。
在矩陣形式線性方程組 Ax = b 中，x 代表什麼？	未知數向量。
在矩陣形式線性方程組 Ax = b 中，b 代表什麼？	常數向量。
線性方程組的解？	唯一解，無解或無窮多個解。
n 元線性方程組的標準式是什麼樣子的？	$\begin{array}{c}a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1} \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2} \\ \cdots \cdots \cdots\\a_{m1} x_{1}+a_{m2} x_{2}+\cdots+a_{m n} x_{n}=b_{m}\end{array}$
$\left\\|\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right\\|=$	$ad-bc$
設有二元一次方程組 $\left\{\begin{array}{l}a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}=b_{1} \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}=b_{2}\end{array}\right.$ 求寫出克萊姆形式的解並校對自己推導過程？	用 $a_{22}$ 乘第一式的兩邊，用 $-a_{12}$ 乘第二式的兩邊得： $\left\{\begin{array}{l}a_{11} a_{22} x_{1}+a_{12} a_{22} x_{2}=b_{1} a_{22}, \\-a_{12} a_{21} x_{1}-a_{12} a_{22} x_{2}=-b_{2} a_{12} .\end{array}\right.$ 將這兩個方程式兩邊相加得： $\left(a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}\right) x_{1}=b_{1} a_{22}-b_{2} a_{12} .$ 於是 $x_{1}=\frac{b_{1} a_{22}-b_{2} a_{12}}{a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}} .$ 用類似的辦法消去 $x_{1}$ 解得: $x_{2}=\frac{a_{11} b_{2}-a_{21} b_{1}}{a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}} .$
如何記憶二元一次方程組： $\left\{\begin{array}{l}a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}=b_{1} \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}=b_{2}\end{array}\right.$ $x_{1}=\frac{\left\\|\begin{array}{ll}b_{1}&a_{12}\\ b_{2} & a_{22}\end{array}\right\\|}{\left\\|\begin{array}{ll}a_{11}&a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right\\|}, x_{2}=\frac{\left\\|\begin{array}{ll}a_{11} & b_{1} \\ a_{21} & b_{2}\end{array}\right\\|}{\left\\|\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right\\|}$	（1）x1 與 x2 的分母都是行列式 $\left\\|\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right\\|$ ，即只需將原方程組未知數前的係數按原順序排成一個行列式即可．（2）x1 的分子行列式的第一列是原方程組的常數列，第二列由 x2 的系數組成，因此這個行列式可以看成是將 x1 與 x2 的分母行列式 $\left\\|\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right\\|$ 中的第一列換成常數項而得．這個規則對 x2 的分子行列式也適用．
設有二階行列式 $\\|A\\|=\left\\|\begin{array}{cc}a_{11} & a_{12} \\ 0 & a_{22}\end{array}\right\\|$ $a_{11}$ 和 $a_{22}$ 被稱為什麼？	對角線元素或主對角元素
上三角行列式的值等於…… 元素之積	其對角線
行列式某行或某列全為零，則行列式的值等於？	0
用常數 c 乘以行列式的某一行或某一列，得到的行列式的值與原來的行列式的關係？	是原行列式的值的 c 倍． $\\|\begin{array}{cc}\mathrm{ca}_{11} & \mathrm{ca}_{12} \\ \mathrm{a}_{21} & \mathrm{a}_{22}\end{array}\left\\|=\left(\mathrm{ca}_{11}\right) \mathrm{a}_{22}-\left(\mathrm{ca}_{12}\right) \mathrm{a}_{21}=\mathrm{c\\|A}\right\\|$
交換行列式不同的兩行（列），行列式的值如何變化？	改變正負
行列式兩行或兩列成比例（相同則當為比例為 1）, 則行列式的值等於？	0
請問 $\left\\|\begin{array}{ll}a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22}\end{array}\right\\|=\left\\|\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right\\|+\left\\|\begin{array}{ll}b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22}\end{array}\right\\|$ 是否成立？如不成立，請寫出對應正確的行列式性質	不正確，正確形式是 $\begin{array}{l}\left\\|\begin{array}{cc}\mathrm{a}_{11} & a_{12} \\ b_{21}+c_{21} & b_{22}+c_{22}\end{array}\right\\|=\left\\|\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ b_{21} & b_{22}\end{array}\right\\|+\left\\|\begin{array}{cc}a_{11} & a_{12} \\ c_{21} & c_{22}\end{array}\right\\| ; \\ \left\\|\begin{array}{ll}b_{11}+c_{11} & a_{12} \\ b_{21}+c_{21} & a_{22}\end{array}\right\\|=\left\\|\begin{array}{cc}b_{11} & a_{12} \\ b_{21} & a_{22}\end{array}\right\\|+\left\\|\begin{array}{cc}c_{11} & a_{12} \\ c_{21} & a_{22}\end{array}\right\\| .\end{array}$
行列式的某一行（列）乘以某個數加到另一行（列）上，行列式的值如何變化？	不變
若行列式中某行（列）元素均為兩項之和，則行列式可表示為？	兩個行列式之和
設有二階行列式 $\\|A\\|=\left\\|\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right\\|$ ，求 $\\|A\\|$ 的轉置	$\left\\|\begin{array}{ll}a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22}\end{array}\right\\|$
行列式和其轉置的值關係是？	相同

復旦高代第一章 行列式 §1.1 二階行列式 anki版問答試問

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